Deret

Terdapat susunan bilangan:

…, 5, 8, 11, 14, 17, …

Susunan di atas dapat disebut deret atau urutan bilangan yang dapat didifinisikan sebagai himpunan bilangan-bilangan yang tersusun dalam keteraturan dengan pola tertentu, sehingga bilangan-bilangan di awal (sebelumnya) atau berikutnya dapat diprediksi.

Selisih urutan bilangan di atas adalah sama yaitu 3, sehingga dapat ditebak bahwa bilangan 2 terletak di sebelah kiri bilangan 5 dan bilangan 20 terletak di sebelah kanan bilangan 17.

Asal-usul
Bilangan yang berada dalam suatu derte disebut elemen; Andaikan n adalah bilangan ordinal dalam suatu deret, dan 1 adalah bilangan pertama dan an bilangan terakhir, maka jumlah bilangan dalam deret adalah:

Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an.

Deret, selanjutnya, dapat ditulis 2, 5, 8, 11, (3n-1), …

Deret di atas disebut deret aritmatika dengan beda/selisih 3. Kebalikan dari deret artimatika adalah deret harmonik 1, ½, 1/3, ¼, … adalah kelabilan dari deret aritmatika 1, 2, 3, 4,…

Dikenal pula deret geometrik seperti 1, 2, 4, 8, 16,… dengan pokok bilangan sama, 2 dengan pangkat n.

Jumlah deret terbatas apabila bilangan awal dan bilangan akhir diketahui seperti:

2 + 5 + 8 + 11 + 14;
Dan dibedakan dengan jumlah deret tak terbatas seperti:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …

Dalam perkembangannya deret mendapat perhatian banyak matematikawan. Euler, sebagai contoh, menggagas deret sebelum muncul bilangan alam (e), dan yang paling terkenal adalah Fourier yang untuk pertama kalinya mengemukakan deret trigonometri yang dikenal dengan nama Fourier series yang banyak diaplikasikan dalam bidang fisika.



sumber : http://www.mate-mati-kaku.com/asalAsalan/Deret.html


.

Read More

Seksadesimal

Judul di atas artinya bilangan dengan dasar enam puluh. Apabila desimal berarti sepuluh dipakai sebagai dasar perhitungan dalam kehidupan sehari-hari, maka bilangan dengan dasar enam puluh rasanya sulit diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Namun, nyatanya, setiap hari kita bergantung kepada sistem bilangan ini. Begitu kita membuat janji, maka terpaksa kita harus berurusan dengan sistem ini. Satu jam terdiri dari 60 menit dan 1 menit terdiri dari 60 detik mengacu pada sistem di atas. Hanya ini. Tidak. Jumlah sudut sebuah segitiga adalah 180° dan keliling lingkaran adalah 360° dipakai sebagai dasar perhitungan dalam kompas.

Asal-usul
Sistem bilangan berbasis enam puluh dipakai sejak dahulu oleh bangsa Babilonia atau Mesopotamia, dimana pada awalnya sistem ini digunakan untuk menggantikan sistem Sumeria - Akkadia yang sudah ada namun hanya dapat digunakan sebagai ukuran penempatan nilai relatif saja. Ide seksadesimal tidak jelas asal-mulanya, namun bukti-bukti arkeologis menunjuk sistem itu sudah ada sejak 2000 tahun SM., seiring dengan berdirinya kekaisaran Babilon.

Kelemahan seksadesimal – dibandingkan dengan desimal - adalah memerlukan lambang bilangan yang lebih banyak (59 lambang/notasi bilangan) yang tentunya lebih sulit untuk dihafalkan. Bangsa Babilon juga sudah mengenal bilangan pecahan seksadesimal dengan notasi bilangan yang berbeda pula.



sumber : http://www.mate-mati-kaku.com/asalAsalan/Seksadesimal.html


.

Read More

Problem empat warna

Apakah memungkinkan mewarnai peta dalam bidang dengan menggunakan (hanya) empat warna dimana daerah/sektor yang letaknya berdekatan atau berbatasan harus mempunyai warna berbeda?

Untuk menjawab pertanyaan sederhana ini ternyata memerlukan pergulatan panjang dan dalam krun waktu ratusan tahun – seperti Theorema Terakhir Fermat (TTF), sebelum akhirnya dipecahkan dengan bantuan komputer.

Asal-usul
Pada tahun 1852, Augustus De Morgan mengirim surat kepada Rowan Hamilton yang didalamnya sekilas disebutkan bahwa seorang mahasiswanya, Frederick Guthrie, bertanya tentang kemungkinan mewarnai peta hanya menggunakan empat warna saja. Ternyata upaya untuk memecahkan problem ini melibatkan pemikiran matematikawan ‘kuno’ seperti [Leonhard] Euler yang mencetuskan teori polihedron. Problem menjadi makin marak setelah dicoba dijawab oleh Cayley dengan hasil kurang memuaskan, sebelum menyeberang ke benua Amerika dibawa oleh Sylvester, rekan Cayley.

Di Eropa dan di Amerika, problem ini sama-sama berusaha dipecahkan. Meskipun lambat dan kurang mendapat perhatian seperti halnya TTF, namun tetap ada matematiwan yang terusik untuk memecahkannya. Titik terang mulai muncul pada tahun 1972, setelah terjadi kolaborasi antara Kenneth Appel dan Wolfgang Haken. Mereka berdua terus berusaha keras untuk membuktikan sampai diungkapakn hasil pembuktian pada tahun 1977 bersama dengan John Koch dan dipublikasikan pada Illinois Journal of Mathematics. Tahun-tahun berikutnya, para matematikawan (Thomas Tymoczko dan Ulrich Schmidt) memberi tanggapan bahwa pembuktian itu ternyata salah. Masih belum patah semangat, Appel dan Heken kembali memberikan tanggapan tentang pembuktian yang mereka lakukan pada tahun 1986 dan 1989.

Baru tahun 1994, Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour dan Robin Thomas merombak semua pembuktian empat-warna. Mengikuti metode dari Appel dan Haken, mereka memberikan 633 konfigurasi yang tidak terbantahkan lagi dengan menggunakan bantuan komputer.



sumber : http://www.mate-mati-kaku.com/asalAsalan/Problem_empat_warna.html


.

Read More

Simbol perjumlahan (+) dan pengurangan (-)

Dalam setiap kalkulator pasti terdapat simbol-simbol + (plus), - (minus), : (titik dua), x (kali) dan = (sama dengan). Tidak perduli kalkulator di sebuah Kecamatan kecil atau di Tokyo (Jepang adalah pusat penghasil kalkulator) atau di New York, semua kalkulator mempunyai keempat tanda di atas.

Kategori

Simbol matematika dipilah menjadi 3 jenis:

- Simbol-simbol untuk bilangan-bilangan, kuantitas-kuantitas, peubah-peubah (variabel) atau obyek-obyek. Masuk kategori ini adalah simbol pada fungsi-fungsi trigonometri, pangkat, akar, logaritma atau simbol untuk menandai peubah.

- Simbol-simbol operasi yang menggambarkan operasi terhadap bilangan. Masuk kategori ini adalah: penambahan, pengurangan, pembagian, perkalian, dan simbol-simbol dalam himpunan, faktorial, integral dan diferensial.

- Simbol-simbol hubungan yang menggambarkan sesuatu ditetapkan. Simbol sama dengan +) dan ketidaksamaan (< dan >), nisbah (ratio).

Sejarah

Simbol + sudah dipakai oleh bangsa Yunani, sedangkan simbol – (minus) pertama kali dipakai oleh Luca Pacioli di Italia pada awal abad 15 dan abad 16. Sebelumnya, Diophantus dari Alexandria menggunakan simbol  untuk operasi pengurangan sebelum disingkat dengan M atau m singkatan dari minus atau meno yang artinya menghilangan satu atau lebih huruf.

Kata plus tidak pernah digunakan sebelum abad 15, disinyalir kalah dulu oleh minus, dimana pertama kali muncul pada karya Fibonacci (1202). Tidak perlu diragukan kata et dalam bahasa Latin sudah muncul pada banyak manuskrip. Simbol + dan – muncul bersama-sama pada tahun 1456 yang terdpat pada manuskrip yang tidak diterbitkan karya Regiomontanus [1436 – 1476]. Di Inggris, Robert Recorde [1510 - 1558], pengarang buku matematika, menulis simbol + dan – dalam buku Ground of Artes. Namun semua itu baru mendapat pengakuan umum dan berlaku umum terhitung tahun 1630.




sumber : http://www.mate-mati-kaku.com/asalAsalan/Simbolperjumlahandanpengurangan.html


.

Read More

Simbol perkalian (x) dan pembagian (:)

Sejarah

Simbol untuk perkalian (x) dan pembagian (:) berkembang kemudian, setelah simbol + dan -. Simbol x untuk perkalian diperkenalkan oleh matematikawan Inggris, William Oughtred pada tahun 1631 yang termaktub dalam buku karyanya, Clavis mathematicae (“kunci menuju metematika”). Simbol itu dipakai untuk menandai “perkalian silang.”

Ternyata tidak mudah artitamtikawan menerima simbol itu karena simbol itu tidak muncul dalam buku-buku teks umum aritmatika sampai pertengahan abad 19. Para aljabaris juga menolah menggunakan simbol itu karena mirip dengan [peubah] x yang digunakan. Mereka lebih suka menggunakan simbol . (titik/dot) untuk menandai operasi perkalian yang diperkenalkan oleh matematikawan sekaligus astronomer Inggris, Thomas Harriot dalam terrangkum dalam karyanya, Artis analyticae proxis, yang terbit pada kisaran tahun 1631 pula.

Adriaan Vlacq, pembuat tabel logaritma kerkewarganegaraan Belanda, juga mendukung penggunaan simbol titik lewat buku, Aritmetica logarithmica yang terbit pada tahun 1628, meskipun tidak menyebutkan simbol itu sebagai simbol operasi. Titik sebagai simbol perkalian mulai dipakai dalam perkalian aljabar yang dirintis oleh Leibniz (1686). Evolusi, akhirnya, mau menggunakan x sebagai simbol perkalian.

Penulisan pembagian untuk dua bilangan adalah menempatkan pembilang di atas penyebut seperti di bawah ini.

9
5

Tanpa menuliskan simbol pembagian ditengahnya sudah ada dalam buku Bamberger Richenbuch (1483). Garis pembatas untuk menyatakan pembagian kemudian dipakai sehingga penulisan menjadi:
9
5

Simbol : muncul dalam edisi cetak, untuk pertama kali dalam buku Tentsche Algebra (1659) karya Johann Heinrich Rahn yang kemudian menyeberang ke Inggris karena buku itu diterjemahkan pada tahun 1668. Simbol : lama dipakai di benua Eropa dan Skandinavia sebagai simbol pembagian sebelum diterima secara universal.



sumber : http://www.mate-mati-kaku.com/asalAsalan/Simbolperkaliandanpembagian.html


.

Read More