“Ketakterhinggaan! Tidak ada pertanyaan yang begitu mendalam yang mampu mengusik semangat manusia”
(The infinite! No other question has ever moved so profoundly the spirit of man)
David Hilbert
Masa kecil
Pada tahun 1501, di sebuah kota kecil tidak jauh dari Milan, Italia bagian utara lahirlah seorang anak bernama Girolamo Cardano. Anak Fazio, seorang intelektual bungkuk, karena terlalu banyak membaca buku. Profesi Fazio adalah pengacara namun mempunyai keahlian lebih justru sebagai seorang matematikawan. Diketahui Leonardo da Vinci pernah konsultasi perihal problem perspektif *) yang terkait dengan geometri. Anehnya, Fazio mengajar matematika di Universitas Pavia bukannya ilmu hukum.
Pelajaran membaca dan matematika diperoleh Cardano dari ayahnya bersama dengan pengantar ilmu hukum. Karir di bidang hukum dipersiapkan oleh Fazio bagi anaknya kelak besar nanti. Hidup pada masa itu sangat sulit dan himpitan “ekonomi” dan “kenyang” didera oleh sang ayah ini membuat masa kecil Cardano banyak dihabiskan di kamar tidur karena selalu menderita sakit. Ibu Cardano, Chiara Michina, tidak tahan dengan kondisi miskin ini memilih pisah ranjang dan tidak banyak terlibat dengan pendidikan Cardano kecil. Ketidakjelasan peran ibu di sini kelak membawa masalah bagi Cardano. Cardano kecil tidak dapat berkiprah apa-apa sampai dia berusia 13 tahun.
Pelajaran membaca dan matematika diperoleh Cardano dari ayahnya bersama dengan pengantar ilmu hukum. Karir di bidang hukum dipersiapkan oleh Fazio bagi anaknya kelak besar nanti. Hidup pada masa itu sangat sulit dan himpitan “ekonomi” dan “kenyang” didera oleh sang ayah ini membuat masa kecil Cardano banyak dihabiskan di kamar tidur karena selalu menderita sakit. Ibu Cardano, Chiara Michina, tidak tahan dengan kondisi miskin ini memilih pisah ranjang dan tidak banyak terlibat dengan pendidikan Cardano kecil. Ketidakjelasan peran ibu di sini kelak membawa masalah bagi Cardano. Cardano kecil tidak dapat berkiprah apa-apa sampai dia berusia 13 tahun.
Perubahan paradigma
Laksana petir menyambar, sobat paling kentalnya meninggal, Cardano kecil mengalami depresi dan kemudian mengalami masa transisi dalam kehidupan. Apa yang dapat diwariskannya apabila dia meninggal? Nama (terkenal) dan anak atau keluarga pewaris yang semuanya tidak dimiliki. Sobatnya tidak mempunyai keluarga dan namanya pun tidak pernah dikenal orang. Semua itu sewaktu-waktu dapat terjadi padanya. Ayahnya hanya memberi “derita dan cemooh”, tidak mempunyai uang dan pengetahuan serta fisiknya lemah. Namun ada satu modal yang masih dimilikinya yaitu ambisi (besar) dan akal sehat. Ayahnya menyarankan agar dia menjadi pengacara, tetapi dia memilih dokter sebagai profesi idaman. Profesi pengacara tidak memberi uang dan ketenaran kepada ayahnya dan profesi dokter dianggapnya akan mampu mengangkatnya dari jurang kemiskinan dan meraih nama besar. Pilihan Cardano ini mendapat sanggahan dari ibunya. Ibunya tidak rela dengan pilihan Cardano, karena ketiga kakak tiri Cardano semuanya meninggal karena epidemi. Alasannya sederhana: agar tidak tertulari penyakit – yang mungkin dibawa oleh pasien.
Umur 19 tahun, Cardano masuk akademi di Pavia. Tidak lama pecah perang dan Cardano pindah ke Universitas Pavia, tempat ayahnya mengajar. Tidak lama kemudian ayahnya meninggal. Pada saat itu Cardano sedang dalam proses pencalonan menjadi rektor. Di sinilah, untuk pertama kalinya, dia mampu unjuk- gigi. Cardano terpilih menjadi rektor setelah menang tipis, unggul 1 suara. Muncul julukan sebagai pendebat ulung, karena lewat debat dia dapat menyingkirkan calon-calon lain. Alasan-alasan yang dikemukakan secara spesifik, “lincah” dan pandai mengungkapkan fakta secara sempurna adalah modal awalnya. Kelak modal awal Cardano ini terus berkembang, namun terlebih dahulu melewati “salah” arah dan “salah” guna.
Laksana petir menyambar, sobat paling kentalnya meninggal, Cardano kecil mengalami depresi dan kemudian mengalami masa transisi dalam kehidupan. Apa yang dapat diwariskannya apabila dia meninggal? Nama (terkenal) dan anak atau keluarga pewaris yang semuanya tidak dimiliki. Sobatnya tidak mempunyai keluarga dan namanya pun tidak pernah dikenal orang. Semua itu sewaktu-waktu dapat terjadi padanya. Ayahnya hanya memberi “derita dan cemooh”, tidak mempunyai uang dan pengetahuan serta fisiknya lemah. Namun ada satu modal yang masih dimilikinya yaitu ambisi (besar) dan akal sehat. Ayahnya menyarankan agar dia menjadi pengacara, tetapi dia memilih dokter sebagai profesi idaman. Profesi pengacara tidak memberi uang dan ketenaran kepada ayahnya dan profesi dokter dianggapnya akan mampu mengangkatnya dari jurang kemiskinan dan meraih nama besar. Pilihan Cardano ini mendapat sanggahan dari ibunya. Ibunya tidak rela dengan pilihan Cardano, karena ketiga kakak tiri Cardano semuanya meninggal karena epidemi. Alasannya sederhana: agar tidak tertulari penyakit – yang mungkin dibawa oleh pasien.
Umur 19 tahun, Cardano masuk akademi di Pavia. Tidak lama pecah perang dan Cardano pindah ke Universitas Pavia, tempat ayahnya mengajar. Tidak lama kemudian ayahnya meninggal. Pada saat itu Cardano sedang dalam proses pencalonan menjadi rektor. Di sinilah, untuk pertama kalinya, dia mampu unjuk- gigi. Cardano terpilih menjadi rektor setelah menang tipis, unggul 1 suara. Muncul julukan sebagai pendebat ulung, karena lewat debat dia dapat menyingkirkan calon-calon lain. Alasan-alasan yang dikemukakan secara spesifik, “lincah” dan pandai mengungkapkan fakta secara sempurna adalah modal awalnya. Kelak modal awal Cardano ini terus berkembang, namun terlebih dahulu melewati “salah” arah dan “salah” guna.
Pengaruh Renaissance
Di Eropa tidak ada perubahan signifikan terhadap matematika sejak Archimedes terbunuh dan terbakarnya perpustakaan Alexandria. Tidak ada lagi ilmuwan Alexandria yang melakukan eksperimen seperti dahulu seperti: mengukur jarak bumi dengan bulan atau mengetahui diameter bumi. Kekaisaran Romawi selama lima abad tidak mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika. Kekuasaan Romawi yang terbentang hampir di seluruh daratan Eropa, kemudian runtuh. Runtuhnya kekaisaran Romawi ternyata membawa hikmah. Tidak jauh dari pandangan mata, di sebelah timur, Turki dan India, muncul berkas-berkas cahaya yang menyinari jalannya perkembangan matematika.
Di India, terdapat tiga hal penting yang berguna bagi perkembangan matematika sedang terjadi.
Pertama, sistim bilangan yang dikenal sekarang diciptakan, termasuk pengenalan angka nol. Angka nol mudah ditulis dan memudahkan orang mengekspresikan angka-angka. Tanpa angka nol, perkembangan matematika ibarat jalan di tempat. Jasa Fibonacci (1202) dalam membawa angka-angka Arab dan aljabar ke Eropa tidak dapat dilupakan. Seperti kita ketahui bersama, notasi angka-angka Romawi tidak praktis dan relatif sulit dipelajari terlebih untuk melakukan operasi-operasi matematika.
Kedua, pengembangan keberadaan angka, dimana angka negatif sudah berani ditampilkan.
Ketiga, penemuan aljabar **. Muncul simbol-simbol untuk mengekspresikan operasi matematika - tambah (+) dan kurang (–) pada persamaan linier (pangkat satu) dan persamaan kuadrat dengan satu peubah (variabel) tidak diketahui dapat diselesaikan, termasuk persamaan dengan memakai angka nol. Saat itu, Omar Khayyam salah seorang matematikawan Arab dan pengarang buku Rubaiyat sangatlah terkenal di Eropa. Dia tidak hanya menulis tentang matematika India tapi juga memberikan nilai tambah. Dia menggunakan grafik untuk menggabungkan aljabar dengan geometri secara bersama-sama dengan theorema binomial. Kelak karya ini dikembangkan oleh Descartes dan Newton.
Di Eropa tidak ada perubahan signifikan terhadap matematika sejak Archimedes terbunuh dan terbakarnya perpustakaan Alexandria. Tidak ada lagi ilmuwan Alexandria yang melakukan eksperimen seperti dahulu seperti: mengukur jarak bumi dengan bulan atau mengetahui diameter bumi. Kekaisaran Romawi selama lima abad tidak mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika. Kekuasaan Romawi yang terbentang hampir di seluruh daratan Eropa, kemudian runtuh. Runtuhnya kekaisaran Romawi ternyata membawa hikmah. Tidak jauh dari pandangan mata, di sebelah timur, Turki dan India, muncul berkas-berkas cahaya yang menyinari jalannya perkembangan matematika.
Di India, terdapat tiga hal penting yang berguna bagi perkembangan matematika sedang terjadi.
Pertama, sistim bilangan yang dikenal sekarang diciptakan, termasuk pengenalan angka nol. Angka nol mudah ditulis dan memudahkan orang mengekspresikan angka-angka. Tanpa angka nol, perkembangan matematika ibarat jalan di tempat. Jasa Fibonacci (1202) dalam membawa angka-angka Arab dan aljabar ke Eropa tidak dapat dilupakan. Seperti kita ketahui bersama, notasi angka-angka Romawi tidak praktis dan relatif sulit dipelajari terlebih untuk melakukan operasi-operasi matematika.
Kedua, pengembangan keberadaan angka, dimana angka negatif sudah berani ditampilkan.
Ketiga, penemuan aljabar **. Muncul simbol-simbol untuk mengekspresikan operasi matematika - tambah (+) dan kurang (–) pada persamaan linier (pangkat satu) dan persamaan kuadrat dengan satu peubah (variabel) tidak diketahui dapat diselesaikan, termasuk persamaan dengan memakai angka nol. Saat itu, Omar Khayyam salah seorang matematikawan Arab dan pengarang buku Rubaiyat sangatlah terkenal di Eropa. Dia tidak hanya menulis tentang matematika India tapi juga memberikan nilai tambah. Dia menggunakan grafik untuk menggabungkan aljabar dengan geometri secara bersama-sama dengan theorema binomial. Kelak karya ini dikembangkan oleh Descartes dan Newton.
Menjadi Penjudi dan Dokter
Jalan pintas ditempuh Cardano untuk mengejar ketinggalan materi adalah dengan berjudi. Main dadu, main kartu, catur adalah cara hidupnya. Pemahaman dirinya tentang probabilitas memungkinkan dia hampir selalu menang dalam berjudi. Sekali waktu, dia ditipu dalam permainan kartu oleh lawannya. Marah, Cardano menghunus pisau yang selalu terselip dipinggangnya, mengayunkan pisau dan menggores wajah lawannya. Kecanduan judi Cardano berlangsung selama bertahun-tahun dan menghamburkan waktu, uang dan reputasi. Kebiasaan buruk tersebut tidak menghambat prestasinya dan mampu lulus sebagai dokter pada tahun 1525. Selepas lulus dia melamar untuk bergabung pada asosiasi dokter (seperti IDI) di Milan, tempat ibunya tinggal. Meskipun prestasi Cardano dalam bidang kedokteran tidak diragukan lagi, namun reputasinya sebagai orang yang sulit diatur, emosi meledak-ledak dan mau menang sendiri apabila mempunyai opini membuat dia tidak dapat bergabung pada asosiasi tersebut. Alasan penolakan yang disebutkan adalah akta kelahiran Cardano yang tidak jelas menyebutkan siapa ayahnya.
Atas saran seorang teman, dia membuka praktik dokter di Padua. Meskipun tidak dapat dikatakan berhasil, tetapi dapat meredam kebiasaan buruknya. Tahun 1531, Cardano menikah dengan anak seorang tetangganya. Penghasilannya tidak cukup untuk hidup berdua, sehingga setahun kemudian dia pindah ke Gallarate, dekat Milan. Sekali lagi, dia melamar di sekolah kedokteran namun hasilnya sudah dapat diduga, lagi-lagi ditolak. Dalam keadaan putus asa ini kebiasaan berjudi muncul kembali bahkan makin menjadi-jadi. Perhiasan istri dan perabot rumah tangganya dijual untuk berjudi, sebelum akhirnya menjadi gelandangan di Milan.
Jalan pintas ditempuh Cardano untuk mengejar ketinggalan materi adalah dengan berjudi. Main dadu, main kartu, catur adalah cara hidupnya. Pemahaman dirinya tentang probabilitas memungkinkan dia hampir selalu menang dalam berjudi. Sekali waktu, dia ditipu dalam permainan kartu oleh lawannya. Marah, Cardano menghunus pisau yang selalu terselip dipinggangnya, mengayunkan pisau dan menggores wajah lawannya. Kecanduan judi Cardano berlangsung selama bertahun-tahun dan menghamburkan waktu, uang dan reputasi. Kebiasaan buruk tersebut tidak menghambat prestasinya dan mampu lulus sebagai dokter pada tahun 1525. Selepas lulus dia melamar untuk bergabung pada asosiasi dokter (seperti IDI) di Milan, tempat ibunya tinggal. Meskipun prestasi Cardano dalam bidang kedokteran tidak diragukan lagi, namun reputasinya sebagai orang yang sulit diatur, emosi meledak-ledak dan mau menang sendiri apabila mempunyai opini membuat dia tidak dapat bergabung pada asosiasi tersebut. Alasan penolakan yang disebutkan adalah akta kelahiran Cardano yang tidak jelas menyebutkan siapa ayahnya.
Atas saran seorang teman, dia membuka praktik dokter di Padua. Meskipun tidak dapat dikatakan berhasil, tetapi dapat meredam kebiasaan buruknya. Tahun 1531, Cardano menikah dengan anak seorang tetangganya. Penghasilannya tidak cukup untuk hidup berdua, sehingga setahun kemudian dia pindah ke Gallarate, dekat Milan. Sekali lagi, dia melamar di sekolah kedokteran namun hasilnya sudah dapat diduga, lagi-lagi ditolak. Dalam keadaan putus asa ini kebiasaan berjudi muncul kembali bahkan makin menjadi-jadi. Perhiasan istri dan perabot rumah tangganya dijual untuk berjudi, sebelum akhirnya menjadi gelandangan di Milan.
Peruntungan membaik
Posisi ayahnya, Fazio, sebagai pengajar matematika di Milan belum ada yang menggantikan. Atas anjuran dan belas kasihan teman-teman ayahnya, Cardano disuruh mengisi posisi tersebut dan memberi kebebasan untuk praktik sebagai dokter, tapi bukan sebagai dokter yang tergabung sebagai anggota asosiasi dokter. Sebagai dokter di Milan, prestasinya dalam menyembuhkan pasien membuat dia sangat terkenal. Asosiasi dokter bahkan tidak malu-malu lagi meminta saran-saran pada Cardano. Seorang penguasa yang anaknya disembuhkan oleh Cardano beserta pasien-pasien lain maupun sesama dokter sangat mendukung Cardano menjadi anggota asosiasi. Akan tetapi, sekali lagi, ditolak. Tahun 1539, setelah banyak tekanan terhadap asosiasi agar Cardano diangkat sebagai anggota makin keras, maka peraturan asosiasi tentang akta kelahiran diubah dan syarat akta kelahiran Cardano yang dianggap illegal dihapuskan. Cardano akhirnya menjadi anggota asosiasi. Keahliannya sebagai dokter dapat dikatakan sangat hebat. Tersohor sebagai dokter nomor dua di Eropa (Nomor satu adalah Vesalius). Tahun 1552, dia menyembuhkan uskup agung Skotalandia, John Hamilton. Selama 10 tahun, uskup itu sakit yang makin lama makin parah. Setelah beberapa hari menginap di sana, Cardano memberi advis untuk mengganti bantal yang dipakai. Uskup agung terkena alergi – barangkali belum dikenal saat itu, dan hanya mengganti bantal berisi bulu, penyakit uskup tersebut sembuh total.
Posisi ayahnya, Fazio, sebagai pengajar matematika di Milan belum ada yang menggantikan. Atas anjuran dan belas kasihan teman-teman ayahnya, Cardano disuruh mengisi posisi tersebut dan memberi kebebasan untuk praktik sebagai dokter, tapi bukan sebagai dokter yang tergabung sebagai anggota asosiasi dokter. Sebagai dokter di Milan, prestasinya dalam menyembuhkan pasien membuat dia sangat terkenal. Asosiasi dokter bahkan tidak malu-malu lagi meminta saran-saran pada Cardano. Seorang penguasa yang anaknya disembuhkan oleh Cardano beserta pasien-pasien lain maupun sesama dokter sangat mendukung Cardano menjadi anggota asosiasi. Akan tetapi, sekali lagi, ditolak. Tahun 1539, setelah banyak tekanan terhadap asosiasi agar Cardano diangkat sebagai anggota makin keras, maka peraturan asosiasi tentang akta kelahiran diubah dan syarat akta kelahiran Cardano yang dianggap illegal dihapuskan. Cardano akhirnya menjadi anggota asosiasi. Keahliannya sebagai dokter dapat dikatakan sangat hebat. Tersohor sebagai dokter nomor dua di Eropa (Nomor satu adalah Vesalius). Tahun 1552, dia menyembuhkan uskup agung Skotalandia, John Hamilton. Selama 10 tahun, uskup itu sakit yang makin lama makin parah. Setelah beberapa hari menginap di sana, Cardano memberi advis untuk mengganti bantal yang dipakai. Uskup agung terkena alergi – barangkali belum dikenal saat itu, dan hanya mengganti bantal berisi bulu, penyakit uskup tersebut sembuh total.
Melenceng ke tahayul
Semasa masih sekolah, dalam suatu wisata dengan kapal kecil di danau Garda, terjadi badai. Halilintar dan hujan lebat disertai angin membuat ombak tinggi. Kapal terombang-ambing sebelum akhirnya karam dan semua penumpangnya terjun ke dalam air. Cardano selamat setelah terdampar. Dia menyatakan bahwa ada malaikat pelindung yang senantiasa menjaganya. Malaikat pelindung itu memberi bisikan apabila akan terjadi malapetaka. Dia menyatakan bahwa setiap peristiwa penting dalam hidupnya akan selalu ditandai dengan mimpi-mimpi aneh, lolongan anjing di malam hari, percikan api, kokok ayam, kicau burung gagak. Dia juga percaya bahwa apabila ada orang yang berbicara tentang dirinya, maka telinganya mendengung. Jika hal yang baik diucapkan, telinga kanan mendengung; apabila hal buruk, telinga kiri yang mendengung. Yang paling parah adalah dia juga meramalkan kematiannya sendiri. Pada tanggal itu ternyata dia masih segar-bugar sehingga berniat bunuh diri untuk mengenapi nubuatnya sendiri.
Semasa masih sekolah, dalam suatu wisata dengan kapal kecil di danau Garda, terjadi badai. Halilintar dan hujan lebat disertai angin membuat ombak tinggi. Kapal terombang-ambing sebelum akhirnya karam dan semua penumpangnya terjun ke dalam air. Cardano selamat setelah terdampar. Dia menyatakan bahwa ada malaikat pelindung yang senantiasa menjaganya. Malaikat pelindung itu memberi bisikan apabila akan terjadi malapetaka. Dia menyatakan bahwa setiap peristiwa penting dalam hidupnya akan selalu ditandai dengan mimpi-mimpi aneh, lolongan anjing di malam hari, percikan api, kokok ayam, kicau burung gagak. Dia juga percaya bahwa apabila ada orang yang berbicara tentang dirinya, maka telinganya mendengung. Jika hal yang baik diucapkan, telinga kanan mendengung; apabila hal buruk, telinga kiri yang mendengung. Yang paling parah adalah dia juga meramalkan kematiannya sendiri. Pada tanggal itu ternyata dia masih segar-bugar sehingga berniat bunuh diri untuk mengenapi nubuatnya sendiri.
Duel dengan Tartaglia
Kisaran tahun 1505, Scipio Ferreus dari Bologna menemukan rumus untuk memecahkan persamaan pangkat tiga (kubik). Dia membagikan rumus itu secara terbatas dan rahasia. Kontes berhadiah uang *** diadakan bagi para metematikawan yang mampu memecahkan problem tersebut. Daya tarik kontes - selain uang, adalah prestise bagi matematikawan yang memenangkannya. Tahun 1535, seorang murid Ferreus ditantang oleh Tartaglia, otodidak yang mengumbar bahwa dia menemukan rumus yang mampu memecahkan semua persamaan pangkat tiga. Rumus itu juga dipegang oleh menantu Scapio Ferreus bernama Hannibal Nave.
Cardano tertarik dengan pemecahan ala Tartaglia yang tidak dipublikasikan. Dia penasaran yang merancang cara untuk mengetahui rumus tersebut setelah memohon langsung ke Tartaglia, dia ditolak mentah-mentah. Sulit membujuk, Cardano melakukan pendekatan terhadap Marquis dal Vasto agar mengundang Tartaglia. Dengan menyatakan dal Vasto tertarik dengan rumus itu dan berjanji untuk merahasiakannya, Tartaglia akhirnya mau datang ke rumah Marquis tersebut. Saat hari itu tiba, dal Vasto pergi ke luar kota – dan Cardano memanfaatkan peluang ini. Sumpah diucapkan oleh Cardano.
Kisaran tahun 1505, Scipio Ferreus dari Bologna menemukan rumus untuk memecahkan persamaan pangkat tiga (kubik). Dia membagikan rumus itu secara terbatas dan rahasia. Kontes berhadiah uang *** diadakan bagi para metematikawan yang mampu memecahkan problem tersebut. Daya tarik kontes - selain uang, adalah prestise bagi matematikawan yang memenangkannya. Tahun 1535, seorang murid Ferreus ditantang oleh Tartaglia, otodidak yang mengumbar bahwa dia menemukan rumus yang mampu memecahkan semua persamaan pangkat tiga. Rumus itu juga dipegang oleh menantu Scapio Ferreus bernama Hannibal Nave.
Cardano tertarik dengan pemecahan ala Tartaglia yang tidak dipublikasikan. Dia penasaran yang merancang cara untuk mengetahui rumus tersebut setelah memohon langsung ke Tartaglia, dia ditolak mentah-mentah. Sulit membujuk, Cardano melakukan pendekatan terhadap Marquis dal Vasto agar mengundang Tartaglia. Dengan menyatakan dal Vasto tertarik dengan rumus itu dan berjanji untuk merahasiakannya, Tartaglia akhirnya mau datang ke rumah Marquis tersebut. Saat hari itu tiba, dal Vasto pergi ke luar kota – dan Cardano memanfaatkan peluang ini. Sumpah diucapkan oleh Cardano.
Aku bersumpah kepadamu, demi Tuhan dan semua orang-orang suci, tidak akan pernah menerbitkan penemuan-penemuan anda, apabila anda mengajarkan kepada ku, aku juga berjanji kepadamu, dan keyakinan Kristiani, untuk mencatat dalam bentuk kode-kode, jadi setelah kematianku tidak akan ada orang yang memahaminya.
Setelah Tartaglia memberikan rumus, dia pergi pulang tanpa pernah bertemu dengan sang Marquis. Enam tahun kemudian (1545), Ars Magna terbit. Semua sumpah di atas rupanya dilanggar, tapi dalam buku juga disebutkan penghormatan kepada Tartaglia. Sejarah, kemudian, mencatat bahwa rumus itu disebut dengan rumus Cardano. Dengan dipublikasikannya rumus tersebut, Cardano mengungkapkan suatu persamaan – disiplin ilmu baru - yang penting bagi perkembangan matematika.
Persamaan aljabar yang menyatakan sisi/ruas kanan sama dengan sisi/ruas kiri. Menggunakan satu peubah yang tidak diketahui seperti x, dan susunan angka berapa pun dapat dibentuk.
Persamaan aljabar yang menyatakan sisi/ruas kanan sama dengan sisi/ruas kiri. Menggunakan satu peubah yang tidak diketahui seperti x, dan susunan angka berapa pun dapat dibentuk.
axn + bx n-1 + cxn-2 + … + px + q = 0
a, b, c adalah koefisien angka. Pangkat n, n-1 menunjuk pangkat dari x. Jika terdapat nagka yang kurang, maka dianggap sama dengan 0.
Contoh:
Contoh:
x³+ x – 7 = 0 dengan x² hilang dapat ditulis dengan: x³+ 0x²+ x – 7 = 0
Bentuk persamaan linier, kuadrat, kubik (pangkat tiga), quintik atau pangkat-pangkat lebih tinggi dapat dijabarkan dengan bentuk persamaan umum di atas. Satu persamaan dengan lebih dari satu peubah tidak diketahui seperti: x + y = 24, disebut dengan persamaan Diophantus mempunyai berbagai penyelesaian. Nilai 20 dan 4, 16 dan 8 dan lainnya dapat diambil untuk besar x atau y. Untuk menyelesaikan persamaan dengan 2, 3 atau n peubah, jumlah persamaan yang diperlukan sama dengan jumlah perubah yang tidak diketahui. Ada kemajuan dibandingkan dengan jaman Yunani bahwa integer tidak harus positif. Persamaan x + 5 = 0 akan diperoleh x = -5. Begitu pula x² - 4 = 0 mempunyai 2 hasil, 2 dan –2. Hanya jaman Renaissance memungkinkan hal itu.
Yang paling menarik adalah penyelesaian persamaan: x + y = 10; xy = 40 **** karena hasilnya adalah 5 + v-15 dan 5 - v-15. Bilangan negatif dan bilangan irrasional muncul bersamaan.
Ironis, memang, cara-cara “canggih” di atas diperoleh dengan cara semi illegal, dicuri dari Tartaglia yang tidak memperoleh penghargaan sedikit pun.
Bukan berarti Cardano tidak menyentuh geometri. Saat itu geometri merupakan pelajaran wajib, sedangkan aljabar tidak banyak yang memahami. Cardano membantu mengembangkan aljabar di Eropa. Cardano juga menerbitkan dua buku tentang matematika: Aritmatika dalam Praktik (The Practice of Arithmetic) dan Pengukuran seherhana (Simple Mensuration). Ini adalah awal karir Cardano sebagai pengarang sebelum menulis buku tentang pengobatan, filsafat, astronomi dan theologi selain matematika.
Yang paling menarik adalah penyelesaian persamaan: x + y = 10; xy = 40 **** karena hasilnya adalah 5 + v-15 dan 5 - v-15. Bilangan negatif dan bilangan irrasional muncul bersamaan.
Ironis, memang, cara-cara “canggih” di atas diperoleh dengan cara semi illegal, dicuri dari Tartaglia yang tidak memperoleh penghargaan sedikit pun.
Bukan berarti Cardano tidak menyentuh geometri. Saat itu geometri merupakan pelajaran wajib, sedangkan aljabar tidak banyak yang memahami. Cardano membantu mengembangkan aljabar di Eropa. Cardano juga menerbitkan dua buku tentang matematika: Aritmatika dalam Praktik (The Practice of Arithmetic) dan Pengukuran seherhana (Simple Mensuration). Ini adalah awal karir Cardano sebagai pengarang sebelum menulis buku tentang pengobatan, filsafat, astronomi dan theologi selain matematika.
Sejarah berulang
Saat Cardano dalam puncak ketenaran dan harta berlimpah. Grambatista, anak sulung, menikah diam-diam dengan Brandonia. Pada awalnya mereka tinggal bersama Cardano, tapi ucapan-ucapan Cardano terhadap menantunya membuat mereka berdua pindah ke orang tua Brandonia. Meskipun tinggal jauh, Cardano selalu membantu keuangan anak, menantu bahkan mertuanya. Hal ini membuat besan Cardano berniat memeras. Tidak lama kemudian Brandonia berkoar bahwa kedua anaknya bukanlah anak Grambatista. Hal ini memicu kemarahan Grambatista dan menaruh racun pada makanan. Istrinya, yang baru melahirkan anak kedua, meninggal. Grambatista ditangkap dan dipenjara, tangan kirinya diputus, sebelum pada tahun 1560 dihukum pancung.
Anak laki lainnya, Aldo, menuruni sifat Cardano semasa muda. Menjadi penjudi yang selalu kalah dan mabuk-mabukan. Dan yang paling parah adalah membongkar rumah ayahnya dan membawa kabur uang dan perhiasan. Cardano marah dan menyuruh pihak berwenang untuk menangkap dan memasukkan anaknya ke dalam penjara.
Saat Cardano dalam puncak ketenaran dan harta berlimpah. Grambatista, anak sulung, menikah diam-diam dengan Brandonia. Pada awalnya mereka tinggal bersama Cardano, tapi ucapan-ucapan Cardano terhadap menantunya membuat mereka berdua pindah ke orang tua Brandonia. Meskipun tinggal jauh, Cardano selalu membantu keuangan anak, menantu bahkan mertuanya. Hal ini membuat besan Cardano berniat memeras. Tidak lama kemudian Brandonia berkoar bahwa kedua anaknya bukanlah anak Grambatista. Hal ini memicu kemarahan Grambatista dan menaruh racun pada makanan. Istrinya, yang baru melahirkan anak kedua, meninggal. Grambatista ditangkap dan dipenjara, tangan kirinya diputus, sebelum pada tahun 1560 dihukum pancung.
Anak laki lainnya, Aldo, menuruni sifat Cardano semasa muda. Menjadi penjudi yang selalu kalah dan mabuk-mabukan. Dan yang paling parah adalah membongkar rumah ayahnya dan membawa kabur uang dan perhiasan. Cardano marah dan menyuruh pihak berwenang untuk menangkap dan memasukkan anaknya ke dalam penjara.
Masa tua
Ketenangan hidupnya kembali berubah setelah tua, karena “teringat” kembali ilmu metafisik yang sempat dilupakannya. Cardano membuat prediksi tentang horoskop Yesus Kristus. Menulis buku dengan pemujaan terhadap Nero, kaisar penyiksa para martir. Semua itu membuat Paus berang dan memerintahkan agar Cardano ditangkap dan di penjara. Tidak sampai satu tahun, Paus memaafkan perbuatan Cardano dan menyuruhnya pindah ke Roma sekaligus diangkat menjadi anggota asosiasi dokter dan memberinya uang pensiun. Sampai meninggalnya Cardano tidak pernah meninggalkan kota Roma.
Ketenangan hidupnya kembali berubah setelah tua, karena “teringat” kembali ilmu metafisik yang sempat dilupakannya. Cardano membuat prediksi tentang horoskop Yesus Kristus. Menulis buku dengan pemujaan terhadap Nero, kaisar penyiksa para martir. Semua itu membuat Paus berang dan memerintahkan agar Cardano ditangkap dan di penjara. Tidak sampai satu tahun, Paus memaafkan perbuatan Cardano dan menyuruhnya pindah ke Roma sekaligus diangkat menjadi anggota asosiasi dokter dan memberinya uang pensiun. Sampai meninggalnya Cardano tidak pernah meninggalkan kota Roma.
*) Sebelumnya gambar hanyalah gambar 2 dimensi (matra) dan menggambar perspektif terjadi setelah ada perubahan pandangan tentang angka nol. Ingat bahwa ujung titik dalam perspektif menuju ketakterhinggaan.
**) Istilah Aljabar diperkenalkan pertama kali oleh Al-Khowarizmi dalam buku Al-jabr Wa’lmuqabaca sehingga kemudian lazim disebut dengan aljabar.
*** ) Sampai jaman Newton, sangat lazim membuat kontes memecahkan problem matematika.
****) Persamaa x + y = 10 kalikan dengan x diperoleh x² + xy = 10x; subsitusikan xy = 40 dan satukan dalam ruas kanan sehingga menjadi persamaan: x² - 10x + 40 = 0. Gunakan rumus:
x = -b± vb² - 4ac
2a
Sumbangsih
Selain mempercepat pengembangan aljabar di Eropa, Cardano memberi sumbangsih pada perkembangan teori probabilitas, hidrodinamika, mekanika dan geologi. Buku tentang peluang dalam permainan diselesaikan tahun 1563 tapi baru terbit pada tahun 1663, dimana isinya adalah topik-topik yang ‘tabu’ disentuh matematikawan “normal” adalah dasar teori probabilitas. Penelitian tentang putaran dadu, didasarkan pada premis bahwa terkandung prinsip-prinsip dasar sains, bukan sekedar keberuntungan. Teori probabilitas ini kelak akan dikembangkan oleh keluarga Bernoulli.
Selain mempercepat pengembangan aljabar di Eropa, Cardano memberi sumbangsih pada perkembangan teori probabilitas, hidrodinamika, mekanika dan geologi. Buku tentang peluang dalam permainan diselesaikan tahun 1563 tapi baru terbit pada tahun 1663, dimana isinya adalah topik-topik yang ‘tabu’ disentuh matematikawan “normal” adalah dasar teori probabilitas. Penelitian tentang putaran dadu, didasarkan pada premis bahwa terkandung prinsip-prinsip dasar sains, bukan sekedar keberuntungan. Teori probabilitas ini kelak akan dikembangkan oleh keluarga Bernoulli.
sumber : http://www.mate-mati-kaku.com/matematikawan/girolamoCardano.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar